コンデンサの単位がAh(アンペア・アワー)に代替できない理由

  • コンデンサの容量の単位→μF(マイクロファラド)
  • リチウム電池とか→mAh(ミリアンペア・アワー)

マイクロとかミリとかはいいとして、なぜコンデンサはAhで示されないのか

ちょっと考えてみたけど「なんかの次元がたりないのかもね〜」程度の
曖昧な考えしか出来なかったので、真面目に考えてみる

要するに・・・

この問題は、なぜF(静電容量)とAh(放電容量)が換算できないのか
という問題に帰着する。

単位の次元

違いを考えるために、とりあえず愚直に単位の次元を考えてみる。

静電容量について。定義から、
C = AsV=kg \cdot m^2\cdot s^3 \cdot A

ここから導くと

  • F = C \cdot V^{-1} = (A \cdot s) \cdot ( {kg}^{-1} \cdot m^{-2} \cdot s^{-3} \cdot A^{-1} )

次に、放電容量について。次元のみに着目すると、h(時)=s(秒)つまり、

  • Ah=A \cdot s

Fに比べるとAhはやけにシンプル。まぁ単位その物が原始的な次元になってるからね。。。

さて、二つを比較してみると差は明らか。Fの後半のややこしい部分、つまり電圧部分の次元が、Ahには丸ごとなくなっている。

つまり、電圧が与えられていないと、FとAhは変換できない、ということ。

・・・分かったような、分からないような。

真面目に考察してみる

とりあえず、エネルギーを計算して考えてみる。(大括弧内は単位)

まずは、リチウム電池について。
電池の放電容量をD[As]、出力電圧をVbat[V]とする。この二つの値は、電池の種類によって固定される。
放電時間をt[s]とすると、P=IV[W=AV]なので、

  • Pt=DV_{bat}

Pt=E[Ws=J]なので、

  • E=DV_{bat}

となる。変数は無い(すべて電池の定数)ので、最大エネルギーの値は完全に電池依存。

次に、コンデンサが充電されたときのエネルギーを考える。
コンデンサの容量をC[F]とする。これはコンデンサの種類で固定。で、あと充電電圧Vcap[V]が必要。
高校物理のとき(だったっけ?)に習った、静電エネルギーの公式E=1/2CVを使う。
Q=CVなので、

  • E=\frac{1}{2}C{V_{cap}}^2

Cはコンデンサの定数だけど、Vcapは充電時の電圧なので、電池だけでは決定されない、という意味で変数ということになる。

要するに・・・(結論)

  • 電池の放電容量の値→完全に電池依存
  • コンデンサの静電容量の値→コンデンサと充電電圧に依存

要するに、コンデンサは充電時の電圧によってエネルギー容量が変わるから、コンデンサを決めただけでは放電容量は決められない、ということだ。

電池の出力電圧は電極(と電解液?)に依存する、っていうのは化学で習ったとおり。つまり、電池はどうやって充電しても、出力電圧は一定になる。だから充電電圧には依存しない。

このように、化学変化を利用する電池と、物理現象のみを利用するコンデンサ、という根本的な原理の違いから、結局のところ単位の違いが出てくるわけだ。

換算式

無謀にも換算式を考えてみる。

上の式、E=DV_{bat}と、E=\frac{1}{2}C{V_{cap}}^2から

  • \frac{1}{2}C{V_{cap}}^2 = DV_{bat}
  • D[As] = \frac{C{V_{cap}}^2}{2V_{bat}}

As(アンペア秒)をAh(アンペア時)に変換すると

  • D'[Ah] = \frac{C{V_{cap}}^2}{7200 \cdot V_{bat} }

(D’: 放電容量[Ah]、C:静電容量[F]、Vcap:コンデンサの充電電圧[V]、Vbat:電池の公称電圧[V])

ただし、コンデンサと電池では電圧の取り出し方がぜんぜん違う。なので、電圧の変換とかにかかるロスやら電圧降下やらで、一概に比較することはできないようです。
あと電池も理想状態のみで計算しているし。

計算してみる

秋月に売ってた電気二重層スーパーキャパシタ。120F、最大定格で使うと2.5V。
これを公称3Vの電池で換算してみる。

<br /> \begin{align} D & = & \frac{C{V_{cap}}^2}{7200 \cdot {V_{bat}}} \\ & = & \frac{120 \times 2.5 \times 2.5}{7200 \times 3} \\  & = & 0.0347 \end{align}<br />

答え: 34.7mAh。

んー。。。こんなもんなのか。

ていうかここまで書いて何だけど、何気にこの記事の内容は自信ないな・・・。
絶対考え方間違えてる気がする。誰かに見てもらいたい。

3 コメント

  • mao

    勉強になりました。現在カーPCの電源で悩んでいます。バッテリー直で定電圧していますが、エンジン始動時にどうしても電圧が落ちます。鉛シールド電池をフローティングでつけようかと思っていますが高価なのと充電器自作でハードルが高い。で、一瞬だし、単に高容量コンデンサーとダイオードでいいかなって思ってますw

  • コメントありがとうございます。
    僕はそんな対して知識ないままこんな記事書いちゃってますが、いずれにせよ、電気モノの工作したりとか、それで悩んだりって楽しいですよね。

  • E5400

    とても参考になりました。
    どうして、コンデンサ(スーパーキャパシタ)が、uF・Fで、二次電池がmAH・Ahなのか良く分かりました。

    最近、秋月で1900F/2.5Vが3万円で売られているので、約550mAhって事になるのかな??
    でも、1.2v x2 直列/600mAhの二次電池の方がはるかに安いのは言うまでもありませんが・・・
     
    PC用のRAIDボード用バックアップバッテリーは、HPで5,000円~2万円弱の高額ですが、それでもスーパーキャパシタよりかは安いですね!!
    DELLは、価格不明

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