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コンデンサの単位がAh(アンペア・アワー)に代替できない理由

  • コンデンサの容量の単位→μF(マイクロファラド)
  • リチウム電池とか→mAh(ミリアンペア・アワー)

マイクロとかミリとかはいいとして、なぜコンデンサはAhで示されないのか

ちょっと考えてみたけど「なんかの次元がたりないのかもね〜」程度の
曖昧な考えしか出来なかったので、真面目に考えてみる

要するに・・・

この問題は、なぜF(静電容量)とAh(放電容量)が換算できないのか
という問題に帰着する。

単位の次元

違いを考えるために、とりあえず愚直に単位の次元を考えてみる。

静電容量について。定義から、
C = As、V=kg \cdot m^2\cdot s^3 \cdot A

ここから導くと

  • F = C \cdot V^{-1} = (A \cdot s) \cdot ( {kg}^{-1} \cdot m^{-2} \cdot s^{-3} \cdot A^{-1} )

次に、放電容量について。次元のみに着目すると、h(時)＝s(秒)つまり、

  • Ah=A \cdot s

Fに比べるとAhはやけにシンプル。まぁ単位その物が原始的な次元になってるからね。。。

さて、二つを比較してみると差は明らか。Fの後半のややこしい部分、つまり電圧部分の次元が、Ahには丸ごとなくなっている。

つまり、電圧が与えられていないと、FとAhは変換できない、ということ。

・・・分かったような、分からないような。

真面目に考察してみる

とりあえず、エネルギーを計算して考えてみる。(大括弧内は単位)

まずは、リチウム電池について。
電池の放電容量をD[As]、出力電圧をVbat[V]とする。この二つの値は、電池の種類によって固定される。
放電時間をt[s]とすると、P=IV[W=AV]なので、

  • Pt=DV_{bat}

Pt=E[Ws=J]なので、

  • E=DV_{bat}

となる。変数は無い(すべて電池の定数)ので、最大エネルギーの値は完全に電池依存。

次に、コンデンサが充電されたときのエネルギーを考える。
コンデンサの容量をC[F]とする。これはコンデンサの種類で固定。で、あと充電電圧Vcap[V]が必要。
高校物理のとき(だったっけ?)に習った、静電エネルギーの公式E=1/2CVを使う。
Q=CVなので、

  • E=\frac{1}{2}C{V_{cap}}^2

Cはコンデンサの定数だけど、Vcapは充電時の電圧なので、電池だけでは決定されない、という意味で変数ということになる。

要するに・・・(結論)

  • 電池の放電容量の値→完全に電池依存
  • コンデンサの静電容量の値→コンデンサと充電電圧に依存

要するに、コンデンサは充電時の電圧によってエネルギー容量が変わるから、コンデンサを決めただけでは放電容量は決められない、ということだ。

電池の出力電圧は電極(と電解液?)に依存する、っていうのは化学で習ったとおり。つまり、電池はどうやって充電しても、出力電圧は一定になる。だから充電電圧には依存しない。

このように、化学変化を利用する電池と、物理現象のみを利用するコンデンサ、という根本的な原理の違いから、結局のところ単位の違いが出てくるわけだ。

換算式

無謀にも換算式を考えてみる。

上の式、E=DV_{bat}と、E=\frac{1}{2}C{V_{cap}}^2から

  • \frac{1}{2}C{V_{cap}}^2 = DV_{bat}
  • D[As] = \frac{C{V_{cap}}^2}{2V_{bat}}

As(アンペア秒)をAh(アンペア時)に変換すると

  • D'[Ah] = \frac{C{V_{cap}}^2}{7200 \cdot V_{bat} }

(D’: 放電容量[Ah]、C:静電容量[F]、Vcap:コンデンサの充電電圧[V]、Vbat:電池の公称電圧[V])

ただし、コンデンサと電池では電圧の取り出し方がぜんぜん違う。なので、電圧の変換とかにかかるロスやら電圧降下やらで、一概に比較することはできないようです。
あと電池も理想状態のみで計算しているし。

計算してみる

秋月に売ってた電気二重層スーパーキャパシタ。120F、最大定格で使うと2.5V。
これを公称3Vの電池で換算してみる。

<br /> \begin{align} D & = & \frac{C{V_{cap}}^2}{7200 \cdot {V_{bat}}} \\ & = & \frac{120 \times 2.5 \times 2.5}{7200 \times 3} \\ & = & 0.0347 \end{align}<br />

答え: 34.7mAh。

んー。。。こんなもんなのか。

ていうかここまで書いて何だけど、何気にこの記事の内容は自信ないな・・・。
絶対考え方間違えてる気がする。誰かに見てもらいたい。

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